應用局部多項式權重最小二乘法
於二維淺水波問題之求解-
以台灣周圍海域之潮汐流場模擬為例

土木與水資源工程學系專案助理教授 吳南靖

      由於水在地表上流動時，水平方向的尺度遠大於水深的尺度，比如海域範圍通常以上百公里計，而海洋裡水深最深也才七、八千公尺，故在許多工程應用上，複雜的三維問題常被簡化為二維的問題。在水利工程、海岸工程、海洋工程相關領域，被廣泛用來描述水在地表上流動現象之方程式，即為二維淺水波方程式。二維淺水波方程式之應用到底有多廣泛？舉凡潰壩問題、淹水問題、土石流問題、海嘯波的傳遞、海嘯波對陸地的衝擊與溯升、海流與洋流之模擬，均可用二維淺水波方程式來求解。
      傳統求解這類問題的方法，為「有網格」的數值方法，比如有限差分法、有限元素法、有限體積法、…等。這些「有網格」的數值方法雖然已發展近百年，而且用這些方法建立之數值模式也有許多變成商用軟體被學界與工程界廣泛愛用，但在使用上，仍有許多不便之處。最大的不便，在於「要產生網格」。網格的產生，有一定的規則，沒有受過專業的訓練，即使拿到好用的軟體，還是沒辦法產生出合用的網格。而在進行網格點編號時，也要格外小心謹謓，一旦不小心給予錯誤的編號，即使只是某兩個點的號碼對調，計算結果可能就天差地遠。而且，若是要在某個局部區域多加一兩個網格點，則整個產生網格的程序要再重來一遍，全部網格點編號都要重新換過，相當的麻煩。
      近十幾年來關於「無網格」數值方法之研究發展有愈來愈蓬勃的趨勢。雖然「無網格」法和「有網格」法一樣，也是要在計算域裡面佈上許許多多的離散點，但相較於傳統的「有網格」數值方法，「無網格」法卻有一個很大的優勢。那就是這些離散點的編號可以有很大的彈性，不用擔心順序弄錯。想在哪個局部範圍多佈幾個離散點，只要加上去就好了，編號也不用重新調整。

      本研究所採用之局部多項式權重最小二乘法，為無網格法的一種。這種方法，最早是被用來做空間的內差。比如做完高程測量之後，再應用一下局部多項式權重最小二乘法，就可以把整個地區的高程都推算出來，然後就可繪製地形圖、等高線圖等相關圖資。由於採用多項式來做局部函數之擬合，在擬合完成後，連函數的梯度都可以一起算出來。在地形圖製作的應用上，高程的梯度就是坡度，而在水動力的問題上，水深的梯度與流速分量的梯度，除了牽扯到質量的守恒之外，也涉及動量與重力、摩擦力、慣性力、科氏力之間的複雜關係。
      本研究係由國立台灣大學蔡丁貴名譽教授、國立台灣大學碩士班研究生陳捷先生(已畢業)，以及國立嘉義大學吳南靖專案助理教授共同合作。本研究已發表於Elsevier出版社之Engineering AnalysiswithBoundaryElements期刊(第68期第124–134頁)。在這篇論文中，我們利用局部多項式權重最小二乘法建立一套可以求解二維淺水波方程式之數值模式。這個數值模擬被拿來模擬一維與二維的潰壩波，還有台灣周圍海域之潮汐流場。經與理論解、實驗數據、以及現場量測資料比對，本數值模式之計算結果相當準確。應用本數值模擬模擬台灣周圍海域潮汐流場16天，只需用到Intel Core? i7-4790單一運算元33.5小時的時間，算是相當的有效率。
      如同前面所言，二維淺水波方程式在水利工程、海岸工程、海洋工程相關領域被廣泛用來描述水在地表上流動現象，舉凡潰壩問題、淹水問題、土石流問題、海嘯波的傳遞、海嘯波對陸地的衝擊與溯升、海流與洋流之模擬均適合用這套程式來分析。故本研究極具前瞻性，在未來的推廣方面，也具有光明的前景。